Сызықты емес регрессия

Талқылау осыған дейiн сызықты регрессияға бағытталған болатын. Дегенмен аралық өзара байланыс тәуелдi айнымалы және бiр және тәуелсiзiрек айнымалы сызықты емес болатынын болып шыға алады. Бұл мәселенiң шешiмiнiң екi жолдары бар болады:

1. мәлiметтердi өзгертсiн және сызықты регрессияны сезiну;
2. сызықты емес регрессияның әдiстерi жанында сезiну.

Сызықты емес регрессия кiтапқа бұл талқыланбайды, бұдан әрi дегенмен мәлiметтер өрнектеуге тұрақтаймыз

Ең кiшi квадраттардың әдiсi

сызықтық емес X пен Y арасындағы әртүрлі байланыстары көрсетілген. Бірақ белгілі бір әдіспен Y ауыстырғанда, α және X пен Y және X-тің арасындағы байланыс сызықтық a және b айналуы мүмкін. Осыдан кейін Ең кіші квардрат әдісін (ЕККӘ) қолдануға болады.

көрсетілген 3 сызықтық емес формаларды қарастырайық. Жоғарғы суреттерде функционалды формасы Y=aX^β, мұнда 01. Осындай алмастыру жасағанда Y ,α және X дейінгі натурал логарифм қолданылады. Шыққан регрессия теңсіздігі мынадай:

ln⁡〖Y=ln⁡〖α+β ln⁡〖X.〗 〗 〗 (6.65)

Ал астыңғы оң суреттегі алмастыру оңайырақ, егер де 1/X тәуелсіз айнымалы ретінде қолданылса.
Барлық алмастыруларда шешімдерді сызықтық емес формаға дурыс алмастыру керек.

Регрессиялық талдауда хеджерлеуді қолдану

Хеджерлеудің мақсаты активті портфельдегі қауіп қатерді жою. Хеджирлеуді тәуекел болатын актив бойынша (сатып алуға) портфелдiң құнынан басқа кейбiр пропорциядағы (сатуға) қысқа позициясының жұмысымен жетедi, бiрақ түзетiлген тәуекелдiк активке. А-ның активiне фьючерс шарты бойынша қысқа позицияның жұмысы хеджирлеу жолымен иллюстрация жасауға болады.

Хеджирлеуді орнатуға дейін 2 сұраққа жауап беру керек:

1. Кандай инструмент бойынша қысқа позицияны орнатуға болады.
2. Қысқа позицияның құны, ұзын позициядан қандай пропорция бойынша барлық портфель дисперсиясын қысқарта алады?

Бірінші сұраққа ұзын позиция бағасының құбылысы мен қысқа позицияға потенциалды үміткерлердің корреляция коэффициентін қарастырып жауап беруге болады. Үміткерлерді ұзын позицияның ең жоғары корреляциясын таңдау керек. Келесі мысалда біз фьючерлік шартты ескереміз.
Ал екінші сұрақ бойынша, қысқа позиция пропорциясы хеджирлеу коэфициенті деп аталады. Бұл коэффициенттерді есептеу кезінде ең кіші квадрат әдіс регрессиясы қолданылады.

Толықтау түсіну үшін қайтадан R_β табысы бар облигация бойынша ұзын позицияны қарастырамыз. Ең жоғарғы түзетілген инструмент ретінде облигацияга фьючерс деп анықталған. Фьючерс бойынша табыс R_F

Хеджирлеген портфельдің табысы, яғни бір бірлікті ұзақ позиция облигациядан тұратын және қысқа позициялы белгілі h биіктікке тең фьючерлік шартқа сәйкес былай анықталады:

R_p=(R_B-hR_F) (6.66)

Мұндағы, h – хеджирлеу коэфициенті
Портфель бойынша дисперсия шыгады:

σ^2 R_p=σ^2 R_B-2h cov(R_B,R_F )+h^2 σ^2 R_F (6.67)

Хеджирленген портфель дисперсиясын азайтатын, хеджирлеу коэффициентін h табу үшін, h бойынша (6.67) шамасын дифференциалдау қажет және 0-ге теңестіру қажет:

(d(σ^2 R_B-2hcov(R_B,R_F )+h^2 σ^2 R_F))/dh=-2cov(R_B,R_F )+2hσ^2 R_F . (6.68)

0-ге теңестіру үшін:

2hσ^2 R_F=2cov(R_B,R_F). (6.69)

Бұл жағдайда h тең:

h=(cov(R_B,R_F))/(σ^2 R_F ) (6.70)

h аналогы (көлбеу регрессия сызығы – β) бола алады.

R_B=α+βR_F+e (6.71)

Осыдан көлбеу коэффициенті β хеджирлеу коэффициентін береді. Тәжірибиеде регрессия ∆P_B/P_B және ∆P_F/P_F, мұндағы P облигация мен фьючерс бағасын көрсетеді. Бұл мысал барлық тәуекелді активті хеджирлеу регрессиялық жоспарлауда пайдаланады.