... ... ... БАЙЛАНЫСҚАН КҮЙДІҢ МАССАЛЫҚ СПЕКТРІН СИПАТТАЙТЫН МОДЕЛ
1.1 Байланысқан күйдің массасын
... ... ... бөлімге біз өзара әрекеттесудің ұйытқусыз және релятивистік сипаттарын ескере
... ... ... байланысқан күйдің массасын анықтаудың альтернативті вариантын енгіземіз.
Байланысқан күйдің әрекеттесу
... ... ... жазған кездегі ең бір негізгі мәселе жүйенің массасын анықтау
... ... ... табылады. Олай болса сыртқы калибрлық өрістегі зарядталған екі скалярлық
... ... ... өзара әрекеттесуін қарастырайық. Бұл бөлшектердің жүйесі байланысқан күйді тудырады
... ... ... алайық. Байланысқан күйдің массасын, сыртқы калибрлық өрістегі зарядталған скалярлық
... ... ... үшін алынған полярзацилық ілмек функциясының асимотикалық таралуының зерттелуіне негіздеп
... ... ... Сыртқы калибрлық өрістегі скалярлық бөлшектің поляризацияланған операторы келесі түрде
... ... ... ... ... ... 〖П(x-y)= 〗_A
... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.1.1)
Мұнда сыртқы калибрлық өріс бойынша
... ... ... орташалау туындайды. Сыртқы калибрлық өрістегі скалярлық бөлшек үшін Грин
... ... ... G_m (y,x|A) мына теңдеуден анықталады:
... ... ... [(i ∂/(∂x_α )+g/cℏ
... ... ... (x) )^2+(c^2 m^2)/ℏ^2 ](x,y|A)=δ(x-y)
... ... ... (1.1.2)
Мұндағы
... ... ... – скалярлық бөлшектің массасы, ал g - байланыс тұрақтысы.
... ... ... калибрлық өріс бойынша орталау кезінде А_α(х)-ны тек төменгі реттілікпен
... ... ... яғни тек қана Гаусстың екінүктелік корреляторын есептейміз:
... ... ... 〖〗_A=exp{-1/2 ∬▒〖dxdyJ_α (x) 〗 D_αβ (x-y) J_β (y)
... ... ... (1.1.3)
Мұндағы J_α (x) нақты ток. Калибрлық өрістің пропагаторы мынадай
... ... ... жазылады:
... ... ... ... ... ... D_αβ (x-y)=〖〗_A=
... ... ... (x-y)
... ... ... ... ... ... (1.1.4)
Байланысқан күйдің массасын П(x-y)-ілмек функциясы арқылы төмендегідей анықтаймыз:
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... M=-lim┬(/x-y/→∞)〖ln〖П(x-y)〗/(/x-y/)〗
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.1.5)
Осылайша, біз ілмек функциясын анықтайтын болсақ, онда байланысқан
... ... ... массасын да анқтай аламыз. Ілмек функциясын анықтау үшін, алдымен,
... ... ... функциясын анықтау керек екендігі (1.1.1)-ден көрініп тұр.
(1.1.2) теңдеудің шешімі
... ... ... интеграл түрінде төменегідей сипатталады[9]:
... ... ... ... ... ... G(x,y|A)=∫_0^∞▒〖ds/(4sπ)^2 exp{-sm^2-(x-y)^2/4s} 〗
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.1.6)
×∫▒〖dσ_β exp{ig∫_0^S▒〖dξ 〖∂Z〗_α(ξ) /∂ξ〗 A_α(ξ) } 〗
мұнда
... ... ... белгілеулер
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Z_α(ξ) =〖(x-y)〗_α ξ+y_α-2√S B_α (ξ)
... ... ... ... ... ... ... ... ... exp{-1/2 ∫_0^1▒〖dξB^'2 (ξ) 〗}
және нормалаулар енгізілген:
... ... ... ... ... ... ... ... ... B_α (0)=B_α (1)=0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ∫▒〖dσ_β 〗=1,
(1.1.6)-ны (1.1.1)-ге қойып
... ... ... (1.1.3) бойынша сыртқы калибрлық өріс бойынша орталауды шығара отырып,
... ... ... функциясын келесі түрде жазамыз:
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... μ_2)/(8xπ^2 )^2 ×
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.1.8)
×exp{-1/2 x((m_1^2)/μ_1 +μ_1 )-x/2 ((m_2^2)/μ_2 +μ_2
... ... ... }×J(μ_1,μ_2 )
Мұндағы:
J(μ_1,μ_2 )=N_1 N_2 ∫▒∫▒〖δr_1 δr_2 〗
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ∫_0^x▒dτ(μ_1 r_1^'2 (τ)+μ_2 r_2^'2 (τ) ) }
... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.1.9)
×exp{-W_1,1+〖2W〗_1,2-W_2,2 }
Және төмендегідей белгілер қолданылған:
W_(i,j)=g^2/2 (-1)^(i+j)×∫_0^x▒∫_0^x▒〖dτ_1
... ... ... Z_α^'(i) 〗 (τ_1 )×
D_αβ (Z^((i) ) (τ_1 )
... ... ... Z_β^'(j) (τ_2 )
... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.1.10)
(1.1.9)-да
... ... ... функционалдық интеграл, траектория бойынша μ_1 〖,μ〗_2 деген массалы екі
... ... ... қозғалысына арналған, релятивистік емес кванттық механикадағы [10] Фейнманның интегралынаұқсайды.
... ... ... бөлшектердің арасындағы өзара әрекеттесу, потенциялдық әрекеттесуді сипаттаумен қатар, потенциялық
... ... ... әрекеттесуді де сипаттайды (1.1.10) өрнегімен анықталады: яғни онда W_1,1
... ... ... W_2,2- потенциялдық емес өзара әрекеттесуді анықтайды, ал W_1,2- потенциялдық
... ... ... әрекеттесуді локалдық емес сипатпен анықтайды. Егер біз ілмек функциясын
... ... ... онда байланысқан күйдің массасын да анықтай алатынымыз (1.1.5) –
... ... ... көруге болады.
Біз (1.1.8) және (1.1.9)- да көрсетілген жалпы түрдегі
... ... ... интегралды есептей алмаймыз. Бірақ (1.1.5) бойынша, асимптотикадағы ілмек функциясын
... ... ... керек. (1.1.9)- көрсетілген функционалдық интеграл мынадай /x-y/→∞ шекте төмендегідей
... ... ... анықталады:
lim┬(|x|→∞)J(μ_1 〖,μ〗_2 )⇒exp{-xE(μ_1,μ_2 ) }
... ... ... ... ... ... (1.1.11)
мұндағы
... ... ... - ге және өзара әрекеттесу тұрақтысы g- ге байланысты
... ... ... Осы жуықтауда (1.1.9)- да көрсетілген интеграл /x-y/→∞ iшегінде, ауыспалық
... ... ... есептелінеді, сонда байланысқан күйдің массасы үшін (1.1.5) – тен
... ... ... теңдеуді аламыз:
M=√(m_1^2-2μ^2 E'(μ) )+√(m_2^2-2μ^2 E'(μ) )+μE^' (μ)+E(μ)
... ... ... (1.1.12)
ал μ параметрін келесі теңдеуден анықтаймыз:
1/μ=1/μ_1 +1/μ_2 =1/(√(m_1^2-2μ^2 E')
... ... ... )+1/√(m_2^2-2μ^2 E'(μ) ),
... ... ... ... ... ... мынадай белгілеу қолданылған:
E^' (μ)=∂E(μ)/∂μ
μ_1,μ_2- параметрлерін байланысқан күйдегі массасын құраушылар
... ... ... қарастыратын боламыз. Бұл массалар m_1,m_2- еркін күйдегі массалардан айырмашылықта
... ... ...
1.2 Байланысқан күйдің конституенттік және валенттік массаларының арасындағы қатынас
Егер
... ... ... релятивистік байланысқан күйге айналса, онда конституенттік және валенттік массаларды
... ... ... пайда болады. Сондай жүйелердің айқын мысалына дейтронды жатқызуға болады.
... ... ... протон мен нейтроннан тұрады, ал дейтронның массасы тәжірибеде
... ... ... дәлдікпен табылған және ол мынаған тең:
m_d=1874,94 МэВ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.2.1)
Сонымен
... ... ... протон мен нейтронның массаларына келесідей мәндерге тең:
... ... ... m_p=938,26 МэВ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... m_n=939,55 МэВ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.2.2)
Сонда
... ... ... бөлшектердің қосынды массасы, яғни m_p+m_n дейтронның массасына тең емес.
... ... ... жағдай дефект массаның пайда болуына әкеледі
∆М=(m_p+m_n )-m_d
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.2.3)
және сутегі бомбасының энергия көзін құрайтын
... ... ... нейтрондық синтез кезінде өте үлкен энергияны бөліп шығарады.
Мұндай классикалық
... ... ... дәлелденген және басқадай релятивистік байланысқан күйлер үшін де дәлелді.
... ... ... байланысқан күйдің түзілу механизмін сипаттаған кезде, конституенттік масса шығып
... ... ... яғни бұл релятивистік байланысқан күйде болатын бөлшектіңі массасы, сондай-ақ
... ... ... бөлшектің массасы шығып отырады. Адрондық физиканың элементар бөлшектерінде бұл
... ... ... кварктардың конституенттік және валенттік массаларына сәйкес келеді.
Осыған байланысты, мұндай
... ... ... арасында қатынас болуға бола ма деген еріксіз сұрақ туындайды,
... ... ... бөлшектерді құрайтын конституенттік және валенттік (еркін) массалар қаншалықты айырмашылықта
... ... ... сөз. Біздің әдісімізде μ_1 және μ_2 байланысқан күйдегі бөлшектерді
... ... ... массалар болып саналады, және (1.1.13) – тен олар е
... ... ... бөлшектің массасы арқылы өрнектелініп төмендегі теңдеуден көруге болады:
μ_1=√(m_1^2-2μ^2 E'(μ)
... ... ... E'(μ) ).
... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.2.4)
(1.2.4)
... ... ... тен конституенттік және еркін массалардың айырмашылығы байланысқан күйдің энергиясы
... ... ... арқылы анықталатынын көруге болады. Егер Е=0 болса, онда μ_1=m_1,
... ... ... яғни конституенттік және еркін массалар тең болады, сонымен бірге
... ... ... классикалық түрге айналады. Дискреттік спектр үшін байланыс энергиясы әрқашан
... ... ... таңбалы, яғни E
1.3 Осцилляторлық өрнектеудегі адрондық атомдардың толқындық функциясы
(1.1.12)
... ... ... ден байланысқан күйдің массасын анықтау үшін, кулондық потенциалдың энергетикалық
... ... ... (1.1.13) көрсетілген келтірілген массамен μ бірге анықтауымыз керек. Ол
... ... ... Шредингер теңдеуін қарастырайық (ШТ):
[1/2μ P ⃗^2-α_lm/r]Ψ=EΨ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.3.1)
ШТ – нің (1.3.1) шешімі
... ... ... түрде жазылады
Ψ_nlm (□(→┬r )) □(=Y_lm (ϑ,φ) ψ_nl (r) ),
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.3.2)
яғни, кулондық потенциал сферикалық симметрия болып табылады, сондықтан бұрыштық
... ... ... ТФ – сы стандарттық сферикалық функциямен өрнектеледі және ортонормалау
... ... ... қанағаттандырады:
∫▒〖dΩY_lm^* 〗 (ϑ,φ) Y_(l^'' m^'' ) (ϑ,φ)=δ_(ll^' ) δ_(mm^'
... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.3.3)
(1.3.2) – ні (1.3.1) – ге қою арқылы және
... ... ... – ті ескере отырып радиалдық ШТ – і үшін
... ... ... өрнекті аламыз (атомдық жүйе бірлігінде):
[-1/2μ (∂/(∂r^2 )+1/r ∂/∂r-l(l+1)/r^2
... ... ... Ψ_r (r)=E_n Ψ_r (r).
... ... ... (1.3.4)
Адрондық атомның энергетикалық спектрі мен
... ... ... функциясын ШТ – нен (1.3.4) табу үшін біз ОӨ
... ... ... көмегімен анықтамас бұрын, бұл әдіс скалярлық өрістің кванттық теория
... ... ... мен идеясына негізделген ескерген абзал. Бірақ, өрістің кванттық теориясының
... ... ... механикадан айтарлықтай айырмашылығы бар: элементар бөлшектің кванттық өрісін пайда
... ... ... ал бұл өрісті шексіз көп кванттық осциллятор өрісінің жиыны
... ... ... қарастырады. Кванттық механикада кванттық жүйенің механизмі, берілген жүйені сипаттайтын
... ... ... анықталады, ал бұл потенциалдарға тәуелді болатын ТФ әртүрлі потенциалдар
... ... ... әртүрлі болады және де осцилятордың ТФ –сы гаусс функциясынан
... ... ... болады. Сондықтан, өрістің теориялық идеалары мен әдістерін, кванттық механика
... ... ... шешуге қолдану үшін, ең алдымен Шредингердің радиалдық теңдеуіндегі айнымалыларды
... ... ... ауыстыру керек: Ізделініп отырған ТФ үлкен арақашықтықта гаусстық таралуға
... ... ... болу керек, ал өзгертілген теңдеу Шредингердің радиалдық теңдеуімен бірге
... ... ... үлкен өлшемділікпен идентификацияланған. Бұған ұқсас идеяны алғаш рет Фок,
... ... ... төрт өлшемдікеңістіктегі өзгертудің көмегімен, сутегі атомының спектрін есептеп тапқан
... ... ... қолданған [12].
Кулондық ТФ – ның [13] асимтотикалық таралуы негізгі
... ... ... келесі түрге тең болады:
Ψ_кул≈e^(-r).
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.3.5)
Сонда жоғарыда
... ... ... сәйкес айнымалыларды мына түрге өзгертеміз:
... ... ... ... ... ... ... ... ... r=q^2
... ... ... =q^2l Φnr(q^2)
... ... ... (1.3.6)
(1.3.6)-ні (1.3.1)-ге қойып бірнеше қысқартулардан кейін, (1.3.1)-ден
... ... ... Rd көмекші кеңістікте Шредингердің өзгертілген теңдеуін келесі түрге келтіреміз:
... ... ... ... ... ... (∂^2/〖∂q〗^2 +(∂-1)/q×∂/∂q)-4μq^2 E-4μα_m ] Φ_n (q^2 )=
... ... ... ... ... ... (1.3.7)
мұндағы d- Rd көмекшң кеңістіктің өлшемі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... d=4+4l
... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.3.8)
(1.3.7)
... ... ... (1.3.8)-ден орбиталдық кванттық сан кеңістіктің өлшеміне жұтылып кеткенін көруге
... ... ... Сондықтан көмекші кеңістікте тек қана негізгі күйді қарастыратын боламыз.
... ... ... біз операторды
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ∂^2/(∂q^2 )+(d-1)/q ∂/∂q≡∇_q
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.3.9)
Rd көмекші кеңістікте, тек q2 радиусынан тәуелді, негізгі күйдің
... ... ... әсер ететін Лапласианмен Δq теңестіреміз. Шредингердің өзгертілген теңдеуінен іздей
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... HФ_n (q^2 )=ε(E) Ф_n (q^2 ),
... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.3.10)
(1.3.7) бойынша, Rd
... ... ... энергетикалық спектрді келесі түрде аламыз:
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ε(E)=0.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.3.11)
Бұл қатынасты (1.3.7) теңдеуінен іздеп
... ... ... энергетикалық спектрді Е анықтауға арналған шарт деп қарастырамыз. ОӨ
... ... ... бойынша d-өлшемді кеңісітікте, каноникалық айнымалыларды тудыру және жою операторларының
... ... ... көрсетеміз:
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... q_j=(a_j+a_j^+)/√2ω ;
P_j=√(ω/2) (a_j-a_j^+)/i ;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.3.12)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... j=1,…,d,[a_j,a_j^+ ]=δ_(i,j) ,
Мұндағы ω-әзірге белгісіз осциллятордың жиілігі.
... ... ... (1.3.7)-не қойып, тудыру және жою операторларын шығару арқылы төмендегіні
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... H=H_0+ε_0 (E)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.3.13)
Мұндағы Н0-еркін осциллятордың гамильтоны
... ... ... саналады
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... H_0=ω(a_j^+,a_j )
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.3.14)
ал ε(Е)-ОӨ-ң нөлдік
... ... ... негізгі күйдің энергиясы [11] және ол мынадай түрде болады:
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ε(E)=dω/4-2μEd/ω-4α_lm μ
... ... ... ... ... ... ... ... ... (1.3.15)
Сонымен бірге гамильтондық
... ... ... әрекеттесу НI тудыру және жою операторлары бойынша қалыпты (нормальной)
... ... ... көрсетіледі және оның себебі, каноникалық айнымалылар бойынша квадраттық қосындыны
... ... ... болып отыр [11] .
Гамильтондық өзара әрекеттесудің НI әсері азғантай
... ... ... ретінде қарастырылады. Өрістің кванттық теоиясында (ӨКТ), каноникалық айнымалыларды тудыру
... ... ... жою операторларының көмегімен өрнектей отырып және гамильтондық өзара әрекеттесуді
... ... ... формада көрсеткеннен кейін, гамильтондық өзара әрекеттесудегі екігші ретті өріс
... ... ... болмауы, ТФ мен байланыс тұрақтысының қайтанормалану эквивалентінің пайда болуын
... ... ... етеді [14]. Бұл процедура вакуумдағы энергия мен массаны қайтанормалау
... ... ... басты кванттық жиынды есепке алуға мүмкіндік береді. Бір сөзбен
... ... ... барлық квадраттық формалар түнелімен гамильтондық еркін осцилляторда топтастырылған. Бұл
... ... ... талап ОӨ әдісі бойынша негізгі кванттық жиынды анықтайтын еркін
... ... ... осциллятордың жиілігін ω табуға арналған
